Wärmebedarfsrechnung für ein Gebäude

Ein mit Nahwärme versorgtes Gebiet besteht in der Regel aus einer Vielzahl von bauphysikalisch unterschiedlichen Gebäuden. Um den Wärmelastgang der Einzelgebäude mit exakten dynamischen Modellen (z.B. DYNBIL, /Feist 1993/) im Detail nachzubilden, wäre eine sehr genaue Aufnahme der Gebäudedaten (Abmessungen, Orientierungen und bauphysikalische Kennwerte von Außen- und Innenbauteilen) notwendig.

Des Weiteren ist zu berücksichtigen, dass der Einfluss durch die Bewohner/Nutzer nicht unerheblich ist. Daten zum Nutzerverhalten (Raumtemperaturen, Nachtabsenkung, Anteil der beheizten Flächen, Warmwasserbedarf, etc.) lassen sich aber in Anbetracht der Größe des betrachteten Systems "Nahwärme" (in der Regel mehrere 100 Wohneinheiten) nur statistischen Erhebungen entnehmen. Dadurch ist eine gewisse "Unschärfe" bei der Abbildung des Heizwärmebedarfs nicht zu vermeiden.

Um den Aufwand (insbesondere bei der Datenaufnahme) im vernünftigen Verhältnis zur erzielbaren Genauigkeit zu halten, werden bei der Gebäudemodellierung einige Vereinfachungen getroffen:

-      die Wärmekapazitäten der Einzelbauteile (Wände, Zwischendecken, ...) werden in einer
Gesamtkapazität des Gebäudes zusammengefasst,

-      es wird mit konstanten k-Werten der Bauteile gerechnet,

-      das Gebäude wird durch eine Zone mittlerer Raumtemperatur beschrieben; unbeheizte Kellerbe­reiche werden darin nicht berücksichtigt.

Wärmeströme über die Gebäudehülle

Abb.1: Wärmeströme über die Gebäudehülle

1.1.1 Wärmeströme über der Gebäudehülle

Bei der Berechnung der Tageswerte für die Heizwärmelast eines Gebäudes werden folgende Wär­meströme durch die Gebäudehülle berücksichtigt:

a) Transmissionswärmeverluste durch Außenwände, Fenster, Dach und Kellerdecke,

b) Wärmebrückenverluste,

c) Lüftungsverluste,

d) innere Gewinne durch Personen und Geräte,

e) solare Gewinne durch die Fenster.

Transmissionswärmeverluste

Für die Transmissionsverluste durch die Bauteile j (Außenwand, Fenster, ...) gilt:

PTrans = ∑j Aj*kj*(Ti-Ta)                                                                      (1.1.1)

mit       A: Bauteilfläche in m2
Ti:      Raumtemperatur in °C
Ta:     Außentemperatur in °C.

Der k-Wert eines Bauteils beschreibt sowohl die Wärmeleitung (Wärmeleitfähigkeit l in W/m,K) im Bauteil als auch die Wärmeübergänge (Wärmeübergangskoeffizienten ai und aa in W/m2,K) von der Bauteiloberfläche an die Raum- und an die Außenluft:

k = 1/(1/?i+d/?+1/?a)

mit:      d:         Bauteildicke in m.

 

Mit (1.1.1) werden die Transmissionswärmeverluste von Außenwänden, Fenstern, Dach und Kellerdecke beschrieben.

Wärmebrückenverluste

Als Wärmebrücken werden im Allgemeinen nicht ausreichend gedämmte Bauteilanschlüsse (Innenwände, Zwischendecken, Fensterrahmen, Dach etc.) an  Außenwände sowie austragende Bau­teile wie z.B. Betonplatten von Balkonen bezeichnet. Der Anteil der zusätzlichen Wärmeverluste durch Wärmebrücken an den gesamten Wärmeverlusten kann - insbesondere bei hohem Wärmeschutzstandard - beträchtlich sein und sollte nicht vernachlässigt werden.

Das dreidimensionale Wärmeleitungsproblem einer Wärmebrücke lässt sich vereinfacht darstellen durch seine lineare Abmessung l und einen linearen Wärmebrückenverlustkoeffizienten w. Damit berechnen sich die gesamten Wärmebrückenverluste zu:

PWB = Sili*wi*(Ti-Ta)                                                                           (1.1.2)

wobei i=1..n für die n Wärmebrücken des Gebäudes steht.

Lüftungsverluste

Um einen CO2 Gehalt in der Innenluft kleiner als 0,1 Vol.-% zu Gewähr leisten (Pettenkoferzahl), ist eine Frischluftzufuhr von etwa 25m3 pro Person und Stunde notwendig. Bei der üblichen Raumbe­legung in Deutschland ergibt sich daraus eine empfohlene Luftwechselrate Lo von 0,3?0,6 pro Stunde, wobei in der Regel 0,6/h angesetzt wird /IWU 1992/. Zudem ist zu beachten, dass die realen Luft­wechselraten stark nutzerabhängig und die angegebenen Werte als Mittelwerte zu verstehen sind.

Die Lüftungswärmeverluste berechnen sich wie folgt:

PL = rL * VR * Lo *cp * (Ti - Ta)                                                        (1.1.3)

mit       rL:       Dichte der Luft in kg/m3
VR:      Raumvolumen: (Wohnfläche * Raumhöhe) in m3
Lo:       Luftwechselrate in 1/h
cp:       spez. Wärmekapazität der Luft bei konst. Druck in Wh/kg,K
Ti:        Raumtemperatur in °C

Ta:       Außentemperatur in °C.

Innere Wärmequellen (Personen und Geräte)

Die durchschnittliche Wärmeabgabe pro Person wird mit 80W angesetzt. Geht man von einer mitt­leren täglichen Anwesenheit von 12h aus, so ergibt sich eine mittlere Wärmeleistung von 40W/Person. Elektrische Geräte werden mit 60W/Person berücksichtigt. Unter der Annahme, dass das Kaltwasser in den Leitungen eine negative Wärmequelle von ca. -30W/Person darstellt, ergibt sich insgesamt für die inneren Quellen ein Wert von:

PPers&Ger = 70W/Person.

Für die Wohnfläche je Bewohner können folgende Werte angesetzt werden:

Einfamilienhäuser:      45m²/Person,
Mehrfamilienhäuser:   35m²/Person.

Bei Nichtwohngebäuden ist gegebenenfalls eine besondere Nutzung (z.B. Einsatz von Geräten mit hoher Wärmeabgabe) zu berücksichtigen.

Solare Gewinne durch Fenster

Die maximalen solaren Gewinne durch die kurzwellige Einstrahlung berechnen sich nach:

Psol,max = Sgi*AFi*Iverti,                                                                     (1.1.4)

wobei mit dem Index i über die Himmelsrichtungen Nord, Ost+West und Süd summiert wird. Der Gesamtenergiedurchlassgrad g berücksichtigt:

-      Gesamtenergiedurchlassgrad des Glases bei senkrechtem Strahlungseinfall (siehe DIN 4108),

-      Korrektur für nichtsenkrechte Einfallswinkel: Faktor 0,9,

-      Korrektur für Rahmenanteil an Gesamtfensterfläche: Faktor 0,8,

-      Korrektur wegen Verschattung (Fensterlaibung, Balkone, Umgebung): Faktor 0,8

-      Korrekturfaktor für Verschmutzung: 0,95.

Die Fläche AF beinhaltet demnach die gesamte Fensterfläche, also inklusive Rahmen. Die vertikale Einstrahlung Ivert wird ebenso wie die Fensterflächen nach den Himmelsrichtungen Nord, Ost+West, Süd unterschieden.

Gleichung (1.1.4) sagt aber noch nichts über die tatsächlich nutzbaren solaren Gewinne aus. Um diese zu bestimmen, müssen die momentanen Wärmeverluste PVerl (Transmissions-, Wärmebrücken- und Lüftungsverluste) abzüglich der inneren Gewinne PPers&Ger und die aktuelle Raumtemperatur Ti (Abschnitt 1.1.2) berücksichtigt werden. Geht man davon aus, dass ab einer maximalen Raumtem­peratur Tmax alle zusätzlichen Wärmegewinne "weggelüftet" werden, um ein komfortables Raum­klima zu erhalten, lassen sich die momentan nutzbaren solaren Gewinne wie folgt darstellen, wobei Dt die Zeitschrittweite (1h) bezeichnet:

Psol = Psol,max                                                                                     (1.1.5a)                       
wenn Psol,max < PVerl - PPers&Ger + C(Tmax-Ti)/Dt,                                                                                                    

Psol = PVerl - PPers&Ger + C(Tmax-Ti)/Dt                                    (1.1.5b)                                                                                                 
wenn Psol,max ³ PVerl - PPers&Ger + C(Tmax-Ti)/Dt.

Die über den momentanen Wärmebedarf PVerl-PPers&Ger hinausgehenden solaren Gewinne führen also nach Gleichung (1.1.5b) zur Aufladung des Gebäudes (mit der gesamten "wirksamen" Wärmekapazität C) bis zur maximal zulässigen Temperatur Tmax.

Korrektur der Transmissionsverluste

Durch Absorption von kurzwelliger Einstrahlung an den Außenoberflächen des Gebäudes (Außenwände, Dach) werden die Transmissions- und Wärmebrückenverluste reduziert. Ausgehend von Gleichung (1.1.1) und (1.1.2) können die Verluste unter Berücksichtigung der Einstrahlung wie folgt dargestellt werden (/Hauser, 1983/, /Feist, 1993/):

PTrans = Siki * Si * A * (Ti - Ta)                              und                      (1.1.6)

PWB = Sili * wi * S * (Ti-Ta)                                                                (1.1.7)

wobei der Korrekturfaktor S neben der Absorption von kurzwelliger Strahlung am Außenbauteil zu­sätzlich die langwellige Strahlungsankopplung des Bauteils an das Rauminnere und an die Außenum­gebung sowie den Einfluss von abweichenden Temperaturen (bezogen auf Außentemperatur) einer nichtbeheizten Zone (z.B. Erdgeschosskeller) berücksichtigt. Die Absorption der kurzwelligen Strahlung berechnet sich aus dem zeitlichen Mittel der Einstrahlung auf die entsprechenden Flächen und der Temperaturdifferenz DT zwischen Raum- und Außentemperatur über der Heizperiode. Da die S-Werte - jeweils für die Bauteile Außenwand, Dach und Kellerdecke (/Feist 1993/) - auch bei unter­schiedlichen Wärmedämmstandards nur relativ gering voneinander abweichen, werden folgende kon­stante Werte für die Korrekturfaktoren der Transmissionsverluste angesetzt:

- SAußenwand = 0,83,                                                                                  
- SDach = 0,95,                                                                                  
- SKellerdecke = 0,45,                                                                                  
- SFenster = 1,                                                                                                   
- SSonstige = 1.

Der Korrekturfaktor für die Wärmebrückenverluste beträgt in allen Fällen S = 0,83.

1.1.2 Bestimmung der Gebäudeinnentemperaturen

Zur Darstellung des thermischen Gebäudeverhaltens und des Temperaturverlaufes wird die Wärmebi­lanz über der gesamten Wärmekapazität C des Gebäudes betrachtet (siehe dazu auch /ENBIL,1992/). Die Berechnung der Wärmekapazität ist im Anhang B dargestellt.

Bei einer mittleren Temperatur der Kapazität von TKap ist im Gebäude die Wärme:

QKap = C * TKap                                                                                 (1.1.8)

gespeichert. Eine zeitliche Änderung der gespeicherten Wärmemenge ergibt sich unter Berücksichti­gung von Wärmeverlusten oder -gewinnen:

dQKap/dt = C * dTKap/dt = - PVerl + PHzg + PSol + PP&G                        (1.1.9)

mit: PVerl:         gesamte Wärmeverluste durch die Gebäudehülle in W,
PHzg:         momentane Heizleistung in W,
PSol:          nutzbare solare Gewinne durch Fenster in W,
PP&G:        Wärmeabgabe durch Personen und Geräte im Raum in W.

Die Wärmeverluste PVerl setzen sich zusammen aus den Transmissionsverlusten durch die Gebäudehülle, den Wärmebrückenverlusten und den Lüftungsverlusten PL (Abschnitt 1.1.1) und berechnen sich zu:

PVerl = PTransges + PWBges + PL                                                                      (1.1.10a)

mit: PTransges:  gesamte Transmissionsverluste (Außenwände, Fenster, Dach, Grund)
PWBges:     gesamte Wärmebrückenverluste des Gebäudes.

Sie lassen sich auch schreiben als:

PVerl   = (SikTrans*A + Sjl*w + rL*VR*Lo*cp) * (Ti - Ta)

= L * (Ti - Ta)                                                                                     (1.1.10b)

mit: L:  gesamter spez. Wärmeverlustkoeffizient des Gebäudes in W/K
Ti: Raumtemperatur in °C
Ta: Außentemperatur in °C.

 

Identifiziert man die mittl. Temperatur der Wärmekapazität mit der Raumtemperatur, so ergibt sich aus (1.1.9) und (1.1.10b) die lineare, inhomogene Differenzialgleichung 1.ter Ordnung:

dTi/dt = - L/C*Ti + PHzg(t)/C + PSol(t)/C + PP&G(t)/C + L/C*Ta.                     (1.1.11)

Unter der Annahme, dass die Inhomogenitäten innerhalb der Integrationsschrittweite (eine Stunde) konstant bleiben, lässt sich (1.1.11) entsprechend exakt lösen: setzt man voraus, dass die Außenwände relativ träge auf Temperaturänderungen reagieren, kann man Ta mit dem Tagesmittelwert der Außen­temperatur gleichsetzen. Die täglichen solaren Gewinne werden konstant über den Tag von 8-14°° verteilt. Für die inneren Gewinne wird ein konstanter Wert über das ganze Jahr angesetzt. Somit gilt für die Inhomogenitäten während des Integrationsschrittes:

PGes   = PHzg(t) + PSol(t) + PP&G(t) + L*Ta = konst.

Mit der Randbedingung, dass die Raumtemperatur zu Beginn des Integrationsschrittes gleich derjeni­gen am Ende des vorherigen Schrittes T0 bzw. dem Anfangswert zu Beginn der Simulation sein soll, ergibt sich die Lösung von (1.1.11) zu:

Ti = T0*exp(-L/C*t) + PGes/L*(1 - exp(-L/C*t)).                                          (1.1.12)

Durch die Übernahme der Raumtemperatur des Vortages werden gegebenenfalls über die Wärmever­luste hinausgehende solare Gewinne durch Speicherung in der Heizbilanz des Folgetages berücksich­tigt. Ti ist auf eine maximale Temperatur Tmax (in der Regel 24°C) begrenzt. Damit wird angenom­men, dass ab dieser Temperatur weitere Wärmegewinne "weggelüftet" werden, um ein komfortables Innenklima zu erhalten.

Bei der nach (1.1.12) berechneten Innentemperatur handelt es sich jedoch weder um die Raumluft­temperatur noch um die Strahlungstemperatur der Wände, sondern um eine Mittelung über beide Temperaturen.

1.1.3 Gesamter Wärmebedarf

Warmwasserbedarf und Verteilverluste

Der Wärmebedarf durch den Warmwasserverbrauch berechnet sich bei Wohngebäuden aus dem jähr­lichen pro-Kopf-Warmwasserbedarf, der Wohnfläche je Person und der gesamten Wohnfläche. Da die Wohnfläche je Person vom Gebäudetyp abhängt, wird der Warmwasserbedarf für jedes Gebäude ein­zeln berechnet. Mit Ausnahme von Gebäuden mit besonderer Nutzungsstruktur wird der Warmwas­seranteil konstant über die 365 Tage des Jahres verteilt. Bei allen Gebäuden können die Wochenen­den und/oder die Ferien (für jeden Gebäudetyp separat definierbar) ausgenommen werden, wenn zu diesen Zeiten kein Warmwasserbedarf besteht.

Die Verluste des Wärmeverteilnetzes werden konstant über die 8760 Stunden des Jahres verteilt.

Aus der tageweisen Summe über den Nutzwärmebedarf der Einzelgebäude und des Verteilverlustes ergeben sich die Tageswerte des gesamten Wärmebedarfes für das Nahwärmegebiet.

Tageswerte des Heizwärmebedarfs

Zur Berechnung des täglichen Heizwärmbedarfes wird das thermische Verhalten des Gebäudes - ggf. unter der Annahme einer Nachtabsenkung von 22.00 Uhr bis 6.00 Uhr - betrachtet. Die Heizleistung wird in Stundenschrittweite aus der Differenz der Wärmeverluste und Wärmegewinne unter Berück­sichtigung von (1.1.10b) berechnet. Aus der Integration jeweils von 0.00 Uhr bis 24.00 Uhr ergibt sich daraus der tägliche Wärmebedarf. Die errechneten Stundenwerte können aber keinen Nutzereinfluss wiedergeben, vielmehr dienen sie einer genaueren Berücksichtigung von solaren Gewinnen und von Temperaturabsenkungen.

Die jeweilige Heizleistung berechnet sich zu:

PHzg = L*(Ti-Ta) - Psol - PPers&Ger + C(Tsoll-Ti)/Dt.                               (1.1.13)

C(Tsoll-Ti) ist für Tsoll > Ti die Wärmemenge, die notwendig ist, um die Raumtemperatur z.B. nach der Nachtabsenkung wieder auf die Solltemperatur anzuheben. Dt ist der dafür vorgegebene Zeitraum (eine Stunde). Für die momentane Raumtemperatur Ti wird die nach (1.1.12) für den jeweils vorher­gehenden Zeitschritt berechnete Raumtemperatur eingesetzt. Entsprechend wird für den Beginn eines Tages die Temperatur am Ende des Vortages übernommen. Bezüglich des tageszeitlichen Verlaufs von  Außentemperatur und Solarstrahlung gelten die Annahmen unter Abschnitt 1.1.2.

Ist die momentane Raumtemperatur Ti größer als die aktuelle Raumsolltemperatur Tsoll, so besteht kein Heizbedarf und es ist: PHzg = 0.

Bestimmung der Stundenwerte der Wärmelast

Zur Bestimmung der Stundenwerte werden die Tageswerte der Wärmelast (Raumwärme + Warmwas­ser ohne Verteilverluste) gebäudeweise mit gebäudetypischen Tagesverläufen  für die Wärmelast gewichtet. Diese Tagesverläufe berücksichtigen bei den Verläufen nach VDI 2067 mehrere Hundert Wohneinheiten und bilden somit den Einfluss durch Nutzer in einem Nahwärmegebiet gut nach. Die auf diese Weise ermittelten Stundenwerte der Einzelgebäude werden zu Stundenwerten für das ge­samte Nahwärmegebiet aufaddiert. Die Verteilverluste werden wie in Abschnitt 1.1.3 berechnet, kon­stant über die 8760h des Jahres verteilt und zu den Stundenwerten des Gesamtgebietes hinzuaddiert. In Abbildung 2 sind exemplarisch die Tagesverläufe für Wohn- und für Schulgebäude darge­stellt.

 Abb. 2: Tagesverläufe zur Bestimmung von Stundenwerten der Wärmelast

Bezugsquellen der Außentemperaturen

Die zur Berechnung des Heizwärmebedarfs erforderliche Außentemperatur Ta wird dem TRY-Datensatz des Deutschen Wetterdienstes entnommen. Es handelt sich um eine mittlere Außenlufttemperatur, die, ebenso wie die Strahlungsdaten, in der Datenbank DB-Klimagebiete für unterschiedliche Klimagebiete zur Verfügung gestellt werden. (siehe Abschn. 4.2)

Demgegenüber geht die DIN 4701 „Regeln für die Berechnung des Wärmebedarfs von Gebäuden“ von einem Norm-Wärmebedarf aus, der als Außentemperatur den niedrigsten Zweitagesmittelwert berücksichtigt, der in einem Ort im Zeitraum von 1951 bis 1970 zehn Mal auftrat. Er liegt in Deutschland zwischen -12 und -18°C und ist in einer Isothermenkarte festgelegt.

BHKW-Plan versteht sich als eine Wärmemengen- und nicht als eine Wärmeleistungsberechnung.

Da man aber auch bei jenen Tiefsttemperaturen eine ausreichende Beheizung anbieten können muss, ist für die Dimensionierung des Spitzenkessels eine zusätzliche Berechnung entsprechend der DIN 4701 erforderlich. Allerdings wird in der Praxis der Spitzenkessel bereits aus dem Grund, dass er im Falle des Ausfalls eines BHKW-Modules die notwendige Wärme mitliefern kann, sehr groß ausgelegt.

1.1.4 Validierung des Rechenmodells

Infolge der Vereinfachungen beim Gebäudemodell („Einkapazitätenmodell“, „Einzonenmodell“, ...) sind Ungenauigkeiten bei der Bestimmung der Heizwärmelast zu erwarten. Da eine messtechnische Bestimmung dieser Abweichungen mit vertretbarem Aufwand nicht durchzuführen ist, wurden als Referenz die Simulationsergebnisse des Programmes DYNBIL für ein Reihenmittelhaus (ca. 150m² WF) nach Wärmeschutzverordnung 1982 bzw. nach Niedrigenergiehaus-Bauweise verwendet. DYNBIL ist ein detailliertes dynamisches Gebäudesimulationsprogramm, das auch den Innenaufbau des Gebäudes berücksichtigt und unter anderem anhand von Messergebnissen eingehend validiert wurde /Feist,1993/.

Tab. 1: Ergebnisse des Modellvergleichs

 

BHKW-Plan

DYNBIL

Differenz

 

WSchVO82:

Jahreswärmebedarf

17351 kWh/a

16415 kWh/a

5,5%

max. Tageswärmelast

150 kWh/d

145 kWh/d

3,3%

 

NEH-Bauweise:

Jahreswärmebedarf

5441 kWh/a

5101 kWh/a

6,5%

max. Tageswärmelast

60 kWh/d

50 kWh/d

18,2%

 

Die Gebäudedaten wurden /Feist,1993/ entnommen. In beiden Fällen wurden Klimadaten für Frank­furt/Main verwendet und der Heizwärmebedarf ohne Warmwasseranteil berechnet.

Die Ergebnisse des Vergleichs in Tabelle 1. zeigen gute Übereinstimmung bezüglich des Jahresbedarfs für beide Wärmedämmstandards. Lediglich bei der maximalen Tageswärmelast zeigt sich nach BHKW-Plan bei hohem Dämmstandard eine deutlich größere Last als bei DYNBIL. Entsprechend wird auch das Maximum der Stundenwerte durch BHKW-Plan für diesen Gebäudetyp überschätzt.

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